se necesita que armen una figura con las piezas dadas
martes, 24 de noviembre de 2009
lunes, 23 de noviembre de 2009
perimetro y areas
La Circunferencia
La circunferencia es una figura en la que todos sus puntos están a una misma distancia fija R, llamada radio de la circunferencia, de un punto fijo O, llamado centro de la circunferencia.
Las figuras que hemos considerado con anterioridad, los polígonos, tienen lados que son segmentos de rectas. La circunferencia, en cambio es una figura de diferente tipo, definida por una línea curva.
La longitud del perímetro de la circunferencia, que llamaremos C, está relacionada con el radio R de la circunferencia por la relación
RCπ2=
con
..........14159,3≈π
que se lee “el número π (pi) es aproximadamente igual a 3,14159” . Sin embargo, a menudo se utiliza para muchos cálculos el valor
14,3=π
Una manera de convencerse que esto es así, es dibujar distintas circunferencias y medir su radio R y su perímetro C y mostrar que la relación C = 2π R con π = 3,14 es, en efecto, correcta. Aquí se muestra en detalle como hacer esta actividad
Otra manera de establecer esta relación es definir el diámetro D de una circunferencia que es igual al doble de su radio
Fundación Telefónica Chile, 2004. Derechos Reservados. Registro N° 128.568
RD2=
En términos del diámetro D, el perímetro C de la circunferencia se escribe como
DCπ=
Consideremos una recta cualquiera que corta una circunferencia en dos puntos A y B. El segmento de recta comprendido entre los puntos A y B se llama la cuerda A B.
Dicho de otra manera, el diámetro es la mayor de todas los cuerdas posibles en una circunferencia dada.
Fundación Telefónica Chile, 2004. Derechos Reservados. Registro N° 128.568
En el caso límite en que los puntos de contacto de la recta y la circunferencia se reducen a sólo uno, se dice que la recta es tangente a la circunferencia en ese punto, que en la figura que sigue llamamos D. La recta tangente a la circunferencia en el punto D es perpendicular al radio de la circunferencia que pasa por el punto D.
La circunferencia es una figura en la que todos sus puntos están a una misma distancia fija R, llamada radio de la circunferencia, de un punto fijo O, llamado centro de la circunferencia.
Las figuras que hemos considerado con anterioridad, los polígonos, tienen lados que son segmentos de rectas. La circunferencia, en cambio es una figura de diferente tipo, definida por una línea curva.
La longitud del perímetro de la circunferencia, que llamaremos C, está relacionada con el radio R de la circunferencia por la relación
RCπ2=
con
..........14159,3≈π
que se lee “el número π (pi) es aproximadamente igual a 3,14159” . Sin embargo, a menudo se utiliza para muchos cálculos el valor
14,3=π
Una manera de convencerse que esto es así, es dibujar distintas circunferencias y medir su radio R y su perímetro C y mostrar que la relación C = 2π R con π = 3,14 es, en efecto, correcta. Aquí se muestra en detalle como hacer esta actividad
Otra manera de establecer esta relación es definir el diámetro D de una circunferencia que es igual al doble de su radio
Fundación Telefónica Chile, 2004. Derechos Reservados. Registro N° 128.568
RD2=
En términos del diámetro D, el perímetro C de la circunferencia se escribe como
DCπ=
Consideremos una recta cualquiera que corta una circunferencia en dos puntos A y B. El segmento de recta comprendido entre los puntos A y B se llama la cuerda A B.
Dicho de otra manera, el diámetro es la mayor de todas los cuerdas posibles en una circunferencia dada.
Fundación Telefónica Chile, 2004. Derechos Reservados. Registro N° 128.568
En el caso límite en que los puntos de contacto de la recta y la circunferencia se reducen a sólo uno, se dice que la recta es tangente a la circunferencia en ese punto, que en la figura que sigue llamamos D. La recta tangente a la circunferencia en el punto D es perpendicular al radio de la circunferencia que pasa por el punto D.
¿circunferencia que son?
Se llama circunferencia al conjunto de puntos cuya distancia a otro punto llamado centro es siempre la misma. Los puntos de la circunferencia y los que se encuentran dentro de ella forman una superficie llamada círculo.
Dimensión de la circunferencia:
Al ser una línea, la circunferencia tiene una sola dimensión, la longitud.
Una circunferencia está formada por:
Centro de la circunferencia: punto del que equidistan todos los puntos de la circunferencia.
Radio de la circunferencia: segmento que une el centro de la circunferencia con cualquier punto de la misma.
Cuerda de la circunferencia: segmento que une dos puntos de la circunferencia, el radio es perpendicular a la cuerda en su punto medio.
Diámetro de la circunferencia: es una cuerda que pasa por el centro. Es la cuerda que mayor tamaño tiene.
Arco de la circunferencia: es la porción de circunferencia limitada por dos puntos de la misma, también se puede decir que es cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia.
Posiciones relativas de dos circunferencias:
Circunferencias exteriores: son las que no tienen ningún punto en común y cada una esta en una región exterior a la otra.
Circunferencias interiores: no tienen ningún punto en común y una está en la región interior de la otra.
Circunferencias tangentes exteriores: tienen un punto en común y los demás puntos de cada una de ellas están en la región exterior de la otra.
Circunferencias tangentes interiores: tienen un punto en común y los demás puntos de una de ellas están en la región interior de la otra.
Circunferencias secantes: tienen dos puntos en común.
Circunferencias concéntricas: no tienen ningún punto en común, una esta en el interior de la otra y tienen el mismo centro pero distinto radio.
Posiciones relativas de una recta y una circunferencia_
Una recta puede estar respecto a una circunferencia:
Recta exterior: cuando no tiene ningún punto común con la circunferencia.
Recta tangente: a la circunferencia cuando tiene un punto común.
Recta secante: a la circunferencia cuando tiene dos puntos comunes .
Ángulos de la circunferencia:
Ángulo central: es el ángulo que tiene su vértice en el centro y sus lados lo forman dos radios.
Si dos ángulos centrales son iguales también lo son los arcos correspondientes.
La medida de un arco central es la misma que la de su ángulo central correspondiente.
Ángulo inscrito: es aquel que tiene su vértice en la circunferencia y sus lados son secantes a ella.
La medida de un ángulo inscrito es igual a la mitad del arco que abarca.
Ángulo semi-inscrito: es aquel que tiene su vértice en un punto de la circunferencia y un lado es tangente y el otro secante a ella.
La medida de un ángulo semi-inscrito es la mitad del arco que abarca.
Ángulo interior: es aquel que tiene su vértice en un punto interior del circulo. Sus lados con cuerdas de la circunferencia.
Un ángulo interior mide la mitad de la suma de las medias de su arcos que abarcan su lados y las prolongaciones de los mismos.
Ángulo exterior: es aquel que tiene su vértice en un punto fuera de la circunferencia y del circulo y su lados son secantes o tangentes de la circunferencia.
La medida de un ángulo exterior es la mitad de la diferencia de los arcos que abarca el ángulo.
Dimensión de la circunferencia:
Al ser una línea, la circunferencia tiene una sola dimensión, la longitud.
Una circunferencia está formada por:
Centro de la circunferencia: punto del que equidistan todos los puntos de la circunferencia.
Radio de la circunferencia: segmento que une el centro de la circunferencia con cualquier punto de la misma.
Cuerda de la circunferencia: segmento que une dos puntos de la circunferencia, el radio es perpendicular a la cuerda en su punto medio.
Diámetro de la circunferencia: es una cuerda que pasa por el centro. Es la cuerda que mayor tamaño tiene.
Arco de la circunferencia: es la porción de circunferencia limitada por dos puntos de la misma, también se puede decir que es cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia.
Posiciones relativas de dos circunferencias:
Circunferencias exteriores: son las que no tienen ningún punto en común y cada una esta en una región exterior a la otra.
Circunferencias interiores: no tienen ningún punto en común y una está en la región interior de la otra.
Circunferencias tangentes exteriores: tienen un punto en común y los demás puntos de cada una de ellas están en la región exterior de la otra.
Circunferencias tangentes interiores: tienen un punto en común y los demás puntos de una de ellas están en la región interior de la otra.
Circunferencias secantes: tienen dos puntos en común.
Circunferencias concéntricas: no tienen ningún punto en común, una esta en el interior de la otra y tienen el mismo centro pero distinto radio.
Posiciones relativas de una recta y una circunferencia_
Una recta puede estar respecto a una circunferencia:
Recta exterior: cuando no tiene ningún punto común con la circunferencia.
Recta tangente: a la circunferencia cuando tiene un punto común.
Recta secante: a la circunferencia cuando tiene dos puntos comunes .
Ángulos de la circunferencia:
Ángulo central: es el ángulo que tiene su vértice en el centro y sus lados lo forman dos radios.
Si dos ángulos centrales son iguales también lo son los arcos correspondientes.
La medida de un arco central es la misma que la de su ángulo central correspondiente.
Ángulo inscrito: es aquel que tiene su vértice en la circunferencia y sus lados son secantes a ella.
La medida de un ángulo inscrito es igual a la mitad del arco que abarca.
Ángulo semi-inscrito: es aquel que tiene su vértice en un punto de la circunferencia y un lado es tangente y el otro secante a ella.
La medida de un ángulo semi-inscrito es la mitad del arco que abarca.
Ángulo interior: es aquel que tiene su vértice en un punto interior del circulo. Sus lados con cuerdas de la circunferencia.
Un ángulo interior mide la mitad de la suma de las medias de su arcos que abarcan su lados y las prolongaciones de los mismos.
Ángulo exterior: es aquel que tiene su vértice en un punto fuera de la circunferencia y del circulo y su lados son secantes o tangentes de la circunferencia.
La medida de un ángulo exterior es la mitad de la diferencia de los arcos que abarca el ángulo.
konstantin andreev
Nacido: 26 de Marzo de 1848 en Moscú, Rusia. Fallecido: 29 de Octubre de 1921 en Moscú, Rusia.
Konstantin Andreev impartió clases en la Universidad de Kharkov desde el año 1873 hasta el 1898. Mientras tanto, en Kharkov, fue ascendido al grado de profesor de matemáticas en 1879.
Andreev jugó un papel principal en la fundación y el desarrollo de la Sociedad Matemática de Kharkov. La cual es una de las más tempranas sociedades matemáticas y fue fundada en 1879, el año en que Andreev se convirtió en profesor.
En 1898 Andreev abandonó Kharkov para ocuparse de un compromiso en Moscú donde realizó también el trabajo de profesor de matemáticas, y donde permaneció el resto de su carrera.
Andreev es principalmente conocido por su trabajo sobre geometría, a pesar de que también realizo sustanciosas contribuciones al análisis. En el área de la geometría efectuó transcendentes trabajos sobre geometría proyectiva.
¿QUÉ SON LOS PUNTOS COLINEALES?
LOS PUNTOS COLINEALES SON AQUELLOS
QUE SE
ENCUENTRAN
EN UNA MISMA LINEA RECTA
QUE SE
ENCUENTRAN
EN UNA MISMA LINEA RECTA
DEFINICION DE RAYO, TRAZO o SEGMENTO
RAYO: corresponde a una linea recta que tiene origen en uno de sus extremos.
Para nombrarlo se utiliza una recta en su origen y otra en el rayo
SEGMENTO O TRAZO: Es la porcion de una recta limitada por dos puntos llamados extremos
o vertices. Dados dos puntos en el plano, el camino mas corto para ir de uno en otro
es el segmento que los une. El largo de un segmento es la distancia entre sus vertices
Para denotarlo se escribe una letraen cada uno del trazo.
SEGMENTO O TRAZO: Es la porcion de una recta limitada por dos puntos llamados extremos
o vertices. Dados dos puntos en el plano, el camino mas corto para ir de uno en otro
es el segmento que los une. El largo de un segmento es la distancia entre sus vertices
Para denotarlo se escribe una letraen cada uno del trazo.
domingo, 22 de noviembre de 2009
CONSTRUCCIONES CON REGLA Y COMPAS
La construcción con regla y compás es el trazado de puntos, segmentos de recta y ángulos usando exclusivamente una regla y compás idealizados. La geometría clásica griega impuso esa norma para las construcciones, aunque los griegos también investigaron las que pueden obtenerse con instrumentos menos básicos.
A la regla se le supone longitud infinita, carencia de marcas que permitan medir o trasladar distancias, y un solo borde. Del compás se supone que se cierra súbitamente cuando se separa del papel, de manera que no puede utilizarse directamente para trasladar distancias, porque "olvida" la separación de sus puntas en cuanto termina de trazar la circunferencia. Esta restricción del compás parece muy incómoda para los usuarios de compases reales, pero carece por otro lado de importancia matemática, porque el traslado de distancias se puede realizar de forma indirecta.
Cualquier punto que sea construible usando regla y compás puede conseguirse también usando únicamente compás; lo que evidentemente no se puede hacer es trazar el segmento de recta entre dos puntos previamente construidos. Como se verá, algunos problemas de geometría plana clásica imponen la restricción de "sólo compás".
Los problemas más famosos que se propusieron para su resolución "con regla y compás" son la proverbial cuadratura del círculo, la duplicación del cubo y la trisección del ángulo, a los que a veces se añade la construcción del heptágono regular, el primero de los infinitos polígonos regulares imposibles de crear con regla y compás. Tienen en común ser de resolución imposible: está matemáticamente demostrado que no se puede cuadrar el círculo, ni duplicar el cubo, ni trisecar el ángulo, ni trazar un heptágono regular usando exclusivamente la regla y el compás idealizados de la geometría griega.
Pese a esa "imposibilidad lógica" insalvable, muchos persisten en el intento de resolver estos famosos problemas.2 Quizás, porque no aciertan a explicarse la imposibilidad, dado que son resolubles si se permiten transformaciones geométricas que no pueden realizarse con regla y compás "euclídeos". Duplicar el cubo es posible utilizando algunas construcciones geométricas que sólo requieren un poco más que la regla y el compás clásicos.
Todas las construcciones con regla y compás son aplicaciones sucesivas de cinco construcciones básicas, usando en cada una los puntos, líneas y círculos que se hayan creado en fases anteriores. Esas cinco únicas construcciones posibles son:
1. Crear el segmento de recta que une dos puntos preexistentes (en realidad, la recta: recuérdese que la regla es de longitud infinita).
2. Crear el círculo con centro en un punto dado y cuya circunferencia toca otro punto dado
3. Crear el punto en el que se intersectan dos rectas no paralelas.
4. Crear el punto, o la pareja de puntos, en los que se intersectan (si lo hacen) una línea y una circunferencia.
5. Crear el punto, o la pareja de puntos, en los que se intersectan (si lo hacen) dos circunferencias.
Por ejemplo, partiendo de dos puntos dados, se puede crear una recta, o bien se pueden crear dos círculos (cada punto hace de centro de un círculo y de extremo de otro). Si optamos por los dos círculos, su intersección dará lugar a dos nuevos puntos. Si trazamos segmentos de recta entre los puntos originales y uno de los nuevos puntos, habremos construido un triángulo equilátero. Así pues, el problema: "construir un triángulo equilátero dado uno de sus lados (o los puntos extremos de uno de sus lados) es trivialmente resoluble con regla y compás.
domingo, 15 de noviembre de 2009
martes, 10 de noviembre de 2009
TALES DE MILETO
Mileto, actual Turquía, 624 a.C.-?, 548 a.C
Filosófo y matemático griego. En su juventud viajó a Egipto, donde aprendió geometría de los sacerdotes de Menfis, y astronomía, que posteriormente enseñaría con el nombre de astrosofía. Dirigió en Mileto una escuela de náutica, construyó un canal para desviar las aguas del Halis y dio acertados consejos políticos. Fue maestro de Pitágoras y Anaxímedes, y contemporáneo de Anaximandro.
Fue el primer filósofo griego que intentó dar una explicación física del Universo, que para él era un espacio racional pese a su aparente desorden. Sin embargo, no buscó un Creador en dicha racionalidad, pues para él todo nacía del agua, la cual era el elemento básico del que estaban hechas todas las cosas, pues se constituye en vapor, que es aire, nubes y éter; del agua se forman los cuerpos sólidos al condensarse, y la Tierra flota en ella. Tales se planteó la siguiente cuestión: si una sustancia puede transformarse en otra, como un trozo de mineral azulado lo hace en cobre rojo, ¿cuál es la naturaleza de la sustancia, piedra, cobre, ambas? ¿Cualquier sustancia puede transformarse en otra de forma que finalmente todas las sustancias sean aspectos diversos de una misma materia? Tales consideraba que esta última cuestión sería afirmativa, puesto que de ser así podría introducirse en el Universo un orden básico; quedaba determinar cuál era entonces esa materia o elemento básico.
Finalmente pensó que era el agua, pues es la que se encuentra en mayor cantidad, rodea la Tierra, impregna la atmósfera en forma de vapor, corre a través de los continentes y la vida no es posible sin ella. La Tierra, para él, era un disco plano cubierto por la semiesfera celeste flotando en un océano infinito. Esta tesis sobre la existencia de un elemento del cual estaban formadas todas las sustancias cobró gran aceptación entre filósofos posteriores, a pesar de que no todos ellos aceptaron que el agua fuera tal elemento. Lo importante de su tesis es la consideración de que todo ser proviene de un principio originario, sea el agua, sea cualquier otro. El hecho de buscarlo de una forma científica es lo que le hace ser considerado como el "padre de la filosofía".
En geometría, y en base a los conocimientos adquiridos en Egipto, elaboró un conjunto de teoremas generales y de razonamientos deductivos a partir de estos. Todo ello fue recopilado posteriormente por Euclides en su obra Elementos, pero se debe a Tales el mérito de haber introducido en Grecia el interés por los estudios geométricos.
Ninguno de sus escritos ha llegado hasta nuestros días; a pesar de ello, son muy numerosas las aportaciones que a lo largo de la historia, desde Herodoto, Jenófanes o Aristóteles, se le han atribuido.
Aristóteles consideró a Tales como el primero en sugerir un único sustrato formativo de la materia; además, en su intención de explicar la naturaleza por medio de la simplificación de los fenómenos observables y la búsqueda de causas en el mismo entorno natural, Tales fue uno de los primeros en trascender el tradicional enfoque mitológico que había caracterizado la filosofía griega de siglos anteriores.
lunes, 2 de noviembre de 2009
¿Cuales son los conceptos primitivos en geometria?
Acontinuacion daremos a conocer algunos conceptos primitivos con su significado
Punto: El punto nos sirve como elemento de referencia, ya que cada vez que necesitamos comparar formas lo utilizamos.
no tiene dimension, pero si una ubicacion en el espacio.
Recta: conjunto de puntos infinitos. ubicados en un plano.
Plano: superficie que se extiende en forma infinita y consta de dos dimensiones longitudinal y anchura.
Espacio: esta considerado con tres dimensiones como ejemplo un cuerpo geometrico.
El punto esta en una linea o mas conocida por una recta ya que está esta conformada por varios puntos.
Punto: El punto nos sirve como elemento de referencia, ya que cada vez que necesitamos comparar formas lo utilizamos.
no tiene dimension, pero si una ubicacion en el espacio.
Recta: conjunto de puntos infinitos. ubicados en un plano.
Plano: superficie que se extiende en forma infinita y consta de dos dimensiones longitudinal y anchura.
Espacio: esta considerado con tres dimensiones como ejemplo un cuerpo geometrico.
El punto esta en una linea o mas conocida por una recta ya que está esta conformada por varios puntos.
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